哈工大硕士生用 Python 实现了 11 种经典数据降维算法

网上关于各种降维算法的资料参差不齐，同时大部分不提供源代码。这里有个 GitHub 项目整理了使用 Python 实现了 11 种经典的数据抽取（数据降维）算法，包括：PCA、LDA、MDS、LLE、TSNE 等，并附有相关资料、展示效果；非常适合机器学习初学者和刚刚入坑数据挖掘的小伙伴。

为什么要进行数据降维？

所谓降维，即用一组个数为 d 的向量 Zi 来代表个数为 D 的向量 Xi 所包含的有用信息，其中 d

通常，我们会发现大部分数据集的维度都会高达成百乃至上千，而经典的 MNIST，其维度都是 64。

MNIST 手写数字数据集

但在实际应用中，我们所用到的有用信息却并不需要那么高的维度，而且每增加一维所需的样本个数呈指数级增长，这可能会直接带来极大的「维数灾难」；而数据降维就可以实现：

使得数据集更易使用

确保变量之间彼此独立

降低算法计算运算成本

去除噪音

一旦我们能够正确处理这些信息，正确有效地进行降维，这将大大有助于减少计算量，进而提高机器运作效率。而数据降维，也常应用于文本处理、人脸识别、图片识别、自然语言处理等领域。

数据降维原理

往往高维空间的数据会出现分布稀疏的情况，所以在降维处理的过程中，我们通常会做一些数据删减，这些数据包括了冗余的数据、无效信息、重复表达内容等。

例如：现有一张 1024*1024 的图，除去中心 50*50 的区域其它位置均为零值，这些为零的信息就可以归为无用信息；而对于对称图形而言，对称部分的信息则可以归为重复信息。

因此，大部分经典降维技术也是基于这一内容而展开，其中降维方法又分为线性和非线性降维，非线性降维又分为基于核函数和基于特征值的方法。

线性降维方法：

PCA 、ICA LDA、LFA、LPP(LE 的线性表示)

非线性降维方法：

基于核函数的非线性降维方法——KPCA 、KICA、KDA

基于特征值的非线性降维方法（流型学习）——ISOMAP、LLE、LE、LPP、LTSA、MVU

哈尔滨工业大学计算机技术专业的在读硕士生 Heucoder 则整理了 PCA、KPCA、LDA、MDS、ISOMAP、LLE、TSNE、AutoEncoder、FastICA、SVD、LE、LPP 共 12 种经典的降维算法，并提供了相关资料、代码以及展示，下面将主要以 PCA 算法为例介绍降维算法具体操作。

主成分分析（PCA）降维算法

PCA 是一种基于从高维空间映射到低维空间的映射方法，也是最基础的无监督降维算法，其目标是向数据变化最大的方向投影，或者说向重构误差最小化的方向投影。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出，属于线性降维方法。与 PCA 相关的原理通常被称为最大方差理论或最小误差理论。这两者目标一致，但过程侧重点则不同。

最大方差理论降维原理

将一组 N 维向量降为 K 维（K 大于 0，小于 N），其目标是选择 K 个单位正交基，各字段两两间 COV(X,Y) 为 0，而字段的方差则尽可能大。因此，最大方差即使得投影数据的方差被最大化，在这过程中，我们需要找到数据集 Xmxn 的最佳的投影空间 Wnxk、协方差矩阵等，其算法流程为：

算法输入：数据集 Xmxn；

按列计算数据集 X 的均值 Xmean，然后令 Xnew=X−Xmean；

求解矩阵 Xnew 的协方差矩阵，并将其记为 Cov；

计算协方差矩阵 COv 的特征值和相应的特征向量；

将特征值按照从大到小的排序，选择其中最大的 k 个，然后将其对应的 k 个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵 Wnxk；

计算 XnewW，即将数据集 Xnew 投影到选取的特征向量上，这样就得到了我们需要的已经降维的数据集 XnewW。

最小误差理论降维原理

而最小误差则是使得平均投影代价最小的线性投影，这一过程中，我们则需要找到的是平方错误评价函数 J0(x0) 等参数。

主成分分析（PCA）代码实现

关于 PCA 算法的代码如下：

from __future__ import print_function
from sklearn import datasets  import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cmx
import matplotlib.colors as colors
import numpy as np  %matplotlib inline

def shuffle_data(X, y, seed=None):
if seed:
np.random.seed(seed)
idx = np.arange(X.shape[0])
np.random.shuffle(idx)
return X[idx], y[idx]
# 正规化数据集 X

def normalize(X, axis=-1, p=2):
lp_norm = np.atleast_1d(np.linalg.norm(X, p, axis))
lp_norm[lp_norm == 0] = 1  return X / np.expand_dims(lp_norm, axis)
# 标准化数据集 X

def standardize(X):
X_std = np.zeros(X.shape)
mean = X.mean(axis=0)
std = X.std(axis=0)
# 做除法运算时请永远记住分母不能等于 0 的情形
# X_std = (X – X.mean(axis=0)) / X.std(axis=0)
for col in range(np.shape(X)[1]):
if std[col]:
X_std[:, col] = (X_std[:, col] – mean[col]) / std[col]  return X_std
# 划分数据集为训练集和测试集
def train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=True, seed=None):
if shuffle:
X, y = shuffle_data(X, y, seed)  n_train_samples = int(X.shape[0] * (1-test_size))  x_train, x_test = X[:n_train_samples], X[n_train_samples:]  y_train, y_test = y[:n_train_samples], y[n_train_samples:]  return x_train, x_test, y_train, y_test  # 计算矩阵 X 的协方差矩阵  def calculate_covariance_matrix(X, Y=np.empty((0,0))):  if not Y.any:  Y = X  n_samples = np.shape(X)[0]  covariance_matrix = (1 / (n_samples-1)) * (X – X.mean(axis=0)).T.dot(Y – Y.mean(axis=0))  return np.array(covariance_matrix, dtype=float)  # 计算数据集 X 每列的方差  def calculate_variance(X):  n_samples = np.shape(X)[0]  variance = (1 / n_samples) * np.diag((X – X.mean(axis=0)).T.dot(X – X.mean(axis=0)))  return variance  # 计算数据集 X 每列的标准差  def calculate_std_dev(X):  std_dev = np.sqrt(calculate_variance(X))  return std_dev  # 计算相关系数矩阵  def calculate_correlation_matrix(X, Y=np.empty([0])):  # 先计算协方差矩阵  covariance_matrix = calculate_covariance_matrix(X, Y)  # 计算 X, Y 的标准差  std_dev_X = np.expand_dims(calculate_std_dev(X), 1)  std_dev_y = np.expand_dims(calculate_std_dev(Y), 1)  correlation_matrix = np.divide(covariance_matrix, std_dev_X.dot(std_dev_y.T))  return np.array(correlation_matrix, dtype=float)  class PCA:  “””  主成份分析算法 PCA，非监督学习算法.  “””  def __init__(self):  self.eigen_values = None  self.eigen_vectors = None  self.k = 2  def transform(self, X):  “””  将原始数据集 X 通过 PCA 进行降维  “””  covariance = calculate_covariance_matrix(X)  # 求解特征值和特征向量  self.eigen_values, self.eigen_vectors = np.linalg.eig(covariance)  # 将特征值从大到小进行排序，注意特征向量是按列排的，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 个特征值对应的特征向量  idx = self.eigen_values.argsort[::-1]  eigenvalues = self.eigen_values[idx][:self.k]  eigenvectors = self.eigen_vectors[:, idx][:, :self.k]  # 将原始数据集 X 映射到低维空间  X_transformed = X.dot(eigenvectors)  return X_transformed  def main:  # Load the dataset  data = datasets.load_iris  X = data.data  y = data.target  # 将数据集 X 映射到低维空间  X_trans = PCA.transform(X)  x1 = X_trans[:, 0]  x2 = X_trans[:, 1]  cmap = plt.get_cmap(‘viridis’)  colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, len(np.unique(y)))]  class_distr =  # Plot the different class distributions  for i, l in enumerate(np.unique(y)):  _x1 = x1[y == l]  _x2 = x2[y == l]  _y = y[y == l]  class_distr.append(plt.scatter(_x1, _x2, color=colors[i]))  # Add a legend  plt.legend(class_distr, y, loc=1)  # Axis labels  plt.xlabel(‘Principal Component 1’)  plt.ylabel(‘Principal Component 2’)  plt.show  if __name__ == “__main__”:  main